Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: x + y + z + \(\sqrt{xyz}\)= 4. Tính giá trị của
P = \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}\)+ \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}\)+\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}\)- \(\sqrt{4yz}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\). Rút gọn biểu thức: \(A=\sqrt{x.\left(4-y\right).\left(4-z\right)}+\sqrt{y.\left(4-z\right).\left(4-x\right)}+\sqrt{z.\left(4-x\right).\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z+\(\sqrt{xyz}\)=4. Tính giá trị biểu thức:
\(A=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)
Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)
cho x,y,z là các số dương thỏa \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)
tính \(S=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-x\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
cho x,y,z là các số dương thỏa \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)
tính \(S=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-x\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}\)\(-\sqrt{xyz}\)
Ta có \(4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\Rightarrow4x+4\sqrt{xyz}+yz=yz-4y-4z+16\)
=> \(\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2=\left(4-y\right)\left(4-z\right)\Rightarrow\sqrt{\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\)
=> \(\sqrt{x}\sqrt{\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự, rồi cộng lại, ta có
\(S=2\left(x+y+z\right)+3\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=8\)
Vậy S=8
^_^
cho x,y,z thõa mãn \(x+y+z\sqrt{x+y+z}=4\)
tính giá trị biểu thức:T=\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
Ta có: \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{z\left[4\left(4-y-z\right)+yz\right]}\)
\(=\sqrt{x\left[4\left(x+\sqrt{xyz}\right)+yz\right]}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-z\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
Và: \(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Từ trên:
\(\Rightarrow T=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}\)
\(=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)\)
\(=8\)
Tính giá trị của biểu thức M=\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}\)+ \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}\)+ \(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}\)- \(\sqrt{xyz}\)
với x ,y,z thỏa mãn x+y+z+\(\sqrt{xyz}\)=4
Cho 3 số x;y;z > 0 thỏa mãn:
\(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)
Tìm \(A=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-x\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
Cho \(x,y,z>0.\) Thỏa mãn: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)
Tính Giá trị của biểu thức:
\(A=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
Từ giả thiết \(4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\to4x+4\sqrt{xyz}+yz=16-4\left(y+z\right)+yz=\left(4-y\right)\left(4-z\right)\). Suy ra \(\left(4-y\right)\left(4-z\right)=\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\to\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)=2x+\sqrt{xyz}\).
Tương tự ta thiết lập hai đẳng thức nữa \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz},\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}.\)
Cộng lại ta được
\(A=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2\times4=8.\)
Vậy \(A=8.\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\). Tính giá trị biểu thức
\(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}\)
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTLN của \(\dfrac{1}{\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(y+z\right)^2+\left(y+1\right)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(z+x\right)^2+\left(z+1\right)^2+4}}\)
\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)
\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)